Question

10．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）求sin（$\frac{π}{2}$+B）-2sin²$\frac{C}{2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理余弦定理即可得出．
（II）利用倍角公式化简，再利用锐角△ABC的性质，三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）因为（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
由正弦定理有（a+b）（a-b）=（c-b）c，即有b²+c²-a²=bc…（3分）
由余弦定理得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，又A为锐角，∴A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）由题，$sin（{\frac{π}{2}+B}）-2{sin^2}\frac{C}{2}=cosB+cosC-1=cosB+cos（{\frac{2π}{3}-B}）-1$
=$sin（{\frac{π}{6}+B}）-1$…（8分）
又在锐角△ABC中，有$\left\{{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜C＜\frac{π}{2}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}}\right.⇒\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，…（10分）
所以$\frac{π}{3}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，所以$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜sin（{\frac{π}{6}+B}）≤1$，
∴$sin（{\frac{π}{2}+B}）-2{sin^2}\frac{C}{2}$的取值范围是.$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1，0}]$．…（12分）

点评 本题考查了余弦定理的应用、倍角公式、锐角三角形的性质，三角函数的单调性与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．