Question

20．在直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=4t+a\end{array}\right.$（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-4sinθ．
（1）求圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若圆上有且仅有三个点到直线l距离为$\sqrt{2}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由圆的极坐标方程变形可得ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，由极坐标方程的意义可得x²+y²=4x-4y，将其变形可得答案；
（2）由（1）可得圆心的坐标和半径，分析可得圆心C到直线l的距离，由点到直线的距离可得$d=\frac{{|{4+2+a}|}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{2}$，解可得a的值．

解答 解：（1）根据题意，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-4sinθ，
变形可得：ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
即x²+y²=4x-4y，
变形可得：（x-2）²+（y+2）²=8；
（2）圆心$C（{2，-2}），r=2\sqrt{2}$，
若圆上有且仅有三个点到直线l距离为$\sqrt{2}$，
则有圆心C到直线l的距离为$r-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
而直线l为：2x-y+a=0，则$d=\frac{{|{4+2+a}|}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{2}$，
∴$|{a+6}|=\sqrt{10}$，
∴$a=±\sqrt{10}-6$．

点评 本题考查极坐标、参数方程的应用，关键是掌握极坐标．参数方程的意义．