Question

15．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，a₁=b₁=1，a₃b₂=14，a₃-b₂=5．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q（q＞0），由等差数列和等比数列的通项公式，可得公差与公比的方程组，解方程可得所求通项公式；
（Ⅱ）运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q（q＞0），
由a₁=b₁=1，a₃b₂=14，a₃-b₂=5．
则$\left\{\begin{array}{l}（1+2d）q=14\\（1+2d）-q=5\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}d=3\\ q=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}d=-\frac{3}{2}\\ q=-7\end{array}\right.$（舍），
所以a_n=3n-2，${b_n}={2^{n-1}}$，n∈N*．
（Ⅱ）S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{n（1+3n-2）}{2}+\frac{{1-{2^n}}}{1-2}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}+{2^n}-1$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．