Question

5．动直线y=kx+4-3k与函数$f（x）=\frac{4x-11}{x-3}$的图象交于A、B两点，点P（x，y）是平面上的动点，满足$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|=2$，则x²+y²的取值范围为[16，36]．

Answer 1

分析 确定P的轨迹方程，即可得出结论．

解答 解：y=k（x-3）+4  必经过点Q （3，4）是以新原点O'（3，4）坐标下的y'=kx'
$f（x）=\frac{4x-11}{x-3}$是以新原点O'（3，4）坐标下的x'y′1
所以交点A，B为新原点O'下的A（$\frac{1}{\sqrt{k}}$，$\sqrt{k}$），B（-$\frac{1}{\sqrt{k}}$，-$\sqrt{k}$）
PA=（$\frac{1}{\sqrt{k}}$-m）+（$\sqrt{k}$-n）i
PB=（-$\frac{1}{\sqrt{k}}$-m）+（-$\sqrt{k}$-n）i
|PA+PB|=|-2m-2ni|=2
|m+ni|=1
即m²+n²=1 是一个圆，即P的轨迹是以（3，4）为圆心的单位圆，
∴x²+y²的取值范围为[16，36]，
故答案为[16，36]．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，确定P的轨迹方程是关键．