Question

20．如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，E为PB中点，D为AB的中点，且△ABE为正三角形．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）请作出点B在平面DEC上的射影H，并说明理由．若$BC=3，BH=\frac{12}{5}$，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出DE⊥AB，PA⊥AB，从而PA⊥平面ABC，进而BC⊥PA，再由PC⊥BC，能证明BC⊥平面PAC．
（2）过点B作BH⊥CD于H，推导出H为点B在平面DEC上的射影，求出AB=5，PB=10，PA=5$\sqrt{3}$，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．

解答 证明：（1）如图，∵△ABE是正三角形，且D为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵E为PB的中点，∴PA∥DE，∴PA⊥AB，
∵PA⊥AC，AB∩AC=A，
∴PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
又∵PC⊥BC，PA∩PC=P，
∴BC⊥平面PAC．
解：（2）如图，过点B作BH⊥CD于H，
由（1）知DE⊥平面ABC，∴BH⊥DE，
又∵BH⊥CD，DE∩CD=D，∴BH⊥平面DEC，
∴H为点B在平面DEC上的射影，
在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，CD=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}+9}$，
S_△BCD=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3×x$=$\frac{3x}{4}$，
由${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}{×CD×BH}_{\;}=\frac{3}{5}\sqrt{{x}^{2}+9}$，得$\frac{3x}{4}=\frac{3}{5}\sqrt{{x}^{2}+9}$，
解得x=4，
∴AB=5，PB=10，PA=5$\sqrt{3}$，
∴三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×3×5\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．