Question

8．已知P，Q是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上关于原点O对称的任意两点，且点P，Q都不在x轴上．
（Ⅰ）若D（a，0），求证：直线PD和QD的斜率之积为定值；
（Ⅱ）若椭圆长轴长为4，点A（0，1）在椭圆E上，设M，N是椭圆上异于点A的任意两点，且AM⊥AN，问直线MN是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设Q（-m，-n），则n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$），根据直线的斜率公式，即可求得直线PD和QD的斜率之积为定值；
（Ⅱ）求得椭圆方程，当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t的值，则直线过直线MN恒过点（0，-$\frac{3}{5}$）．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：P（m，n），则Q（-m，-n），
由$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$），
由D（a，0）则k_PD•k_QD=$\frac{n}{m-a}$•$\frac{n}{m+a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}（1-\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}）}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴直线PD和QD的斜率之积-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$为定值；
（Ⅱ）直线MN过点（0，-$\frac{3}{5}$），
由2a=4，a=2，b=1，则椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
当直线MN的斜率k=0时，则M（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{3}{5}$），N（$\frac{8}{5}$，$\frac{3}{5}$），直线MN的方程为y=-$\frac{3}{5}$，
当直线斜率存在，且k≠0，则直线MN的方程：y=kx+t，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
x₁+x₂=-$\frac{8kt}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由AM⊥AN，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，（1+k²）x₁x₂+k（t-1）（x₁+x₂）+（t-1）²=0，
则（1+k²）×$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+k（t-1）（-$\frac{8kt}{1+4{k}^{2}}$）+（t-1）²=0，
整理得：5t²-2t-3=0，解得：t=-$\frac{3}{5}$或t=1（舍去），
则直线MN的方程y=kx-$\frac{3}{5}$，则直线MN恒过点（0，-$\frac{3}{5}$），
综上可知：直线MN过点（0，-$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．