Question

3．某小型玩具厂拟对n件产品在出厂前进行质量检测，若一件产品通过质量检测能获利润10元；否则产品报废，亏损10元．设该厂的每件产品能通过质量检测的概率为$\frac{2}{3}$，每件产品能否通过质量检测相互独立，现记对n件产品进行质量检测后的总利润为S_n
（Ⅰ）若n=6时，求恰有4件产品通过质量检测的概率；
（Ⅱ）记X=S₅，求X的分布列，并计算数学期望E（X）

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=6时，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰有4件产品通过质量检测的概率．
（Ⅱ）当X=S₅时，X的可能取值为-50，-30，-10，10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）n=6时，恰有4件产品通过质量检测的概率：
P=${C}_{6}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$．
（Ⅱ）∵X=S₅，∴X的可能取值为-50，-30，-10，10，30，50，
P（X=-50）=${C}_{5}^{0}（\frac{1}{3}）^{5}$=$\frac{1}{243}$，
P（X=-30）=${C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{10}{243}$，
P（X=-10）=${C}_{5}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{40}{243}$，
P（X=10）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=30）=${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）$=$\frac{80}{243}$，
P（X=50）=${C}_{5}^{5}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
∴X的分布列为：

X	-50	-30	-10	10	30	50
P	$\frac{1}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{32}{243}$

EX=$-50×\frac{1}{243}-30×\frac{10}{243}-10×\frac{40}{243}$+10×$\frac{80}{243}+30×\frac{80}{243}+50×\frac{32}{243}$=$\frac{50}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是中档题．