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    18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0），且曲线C与直线l有且仅有一个公共点．
    （Ⅰ）求a；
    （Ⅱ）设A、B为曲线C上的两点，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的最大值．

    分析 （Ⅰ）直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程，依题意直线l与圆相切，由此能求出a的值．
    （Ⅱ）设A（ρ1，θ），B（ρ2，$θ+\frac{π}{3}$），则|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos（$θ+\frac{π}{3}$）=3cosθ-$\sqrt{3}sinθ$=2$\sqrt{3}$cos（$θ+\frac{π}{6}$），由此能求出|OA|+|OB|的最大值．

    解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
    ∴直线l的普通方程是x+$\sqrt{3}y$-3=0，
    ∵曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0），
    ∴曲线C的直角坐标方程是（x-a）2+y2=a2，
    依题意直线l与圆相切，则d=$\frac{|a-3|}{2}$=a，
    解得a=-3，或a=1，
    ∵a＞0，∴a=1．
    （Ⅱ）如图，不妨设A（ρ1，θ），B（ρ2，$θ+\frac{π}{3}$），
    则ρ1=2cosθ，${ρ}_{2}=2cos（θ+\frac{π}{3}）$，
    |OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos（$θ+\frac{π}{3}$）=3cosθ-$\sqrt{3}sinθ$=2$\sqrt{3}$cos（$θ+\frac{π}{6}$），
    ∴θ+$\frac{π}{6}$=2kπ，即$θ=2kπ-\frac{π}{6}$，k∈Z时，|OA|+|OB|最大值是2$\sqrt{3}$．

    点评 本题考查实数值的求法，考查两线段和的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．

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