Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC中点O为球心，AC为直径的球面交线段PD（不含端点）于M．
（1）求证：面ABM⊥面PCD；
（2）求三棱锥P-AMC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥AD，CD⊥PA，从而CD⊥面PAD，进而AM⊥CD，再求出AM⊥MC，从而AM⊥面PCD，由此能证明面ABM⊥面PCD．
（2）三棱锥P-AMC的体积V_P-AMC=V_C-PAM，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，
∴CD⊥面PAD，∵AM?面PAD，∴AM⊥CD，
∵AC为直径的球面交PD于M，∴AM⊥MC，
∵CD与MC是面PCD内两条相交直线，
∴AM⊥面PCD，
∵AM?平面ABM，∴面ABM⊥面PCD．…6（分）
解：（2）∵PA=AD=4，等腰直角三角形PAD面积为S=8，CD=2
∴三棱锥P-AMC的体积：
V_P-AMC=V_C-PAM=$\frac{1}{2}$V_C-PAD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$S•CD=$\frac{8}{3}$…12（分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．