Question

14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₂：ρ（sinθ-kcosθ）=3，k为实数．
（1）求曲线C₁的普通方程及曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若点P在曲线C₂上，从点P向C₁作切线，切线长的最小值为2$\sqrt{2}$，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）∵曲线C₁的参数方程消去参数，能求出曲线C₁的普通方程；由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）由切线长的最小值为2$\sqrt{2}$，得到圆心C₁（3，4）到直线C₂：y=kx+3的距离为3，由此利用点到直线的距离公式能求出实数k的值．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C₁的普通方程为（x-3）²+（y-4）²=1，
∵曲线C₂：ρ（sinθ-kcosθ）=3，k为实数，
ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲线C₂的直角坐标方程y=kx+3．…（5分）
（2）∵切线长的最小值为2$\sqrt{2}$，
∴圆心C₁（3，4）到直线C₂：y=kx+3的距离为：d=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=3，
∴d=$\frac{|3k-4+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
解得k=-$\frac{4}{3}$．…（10分）

点评 本题考查直线、圆的直角坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查两点间距离公式、点到直线的距离公式、考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．