Question

11．已知函数f（x）=（a-bx³）e^x，$g（x）=\frac{lnx}{x}$，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线2ex+y-1=0平行．
 （Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）-g（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由 f（1）=e，得a-b=1，由f'（x）=（-3x²-x³+2）e^x=-2e，得到a-4b=-2，由此能求出a，b．
（Ⅱ）要证f（x）-g（x）＞2，即证$2{e^x}-{e^x}{x^3}＞2+\frac{lnx}{x}$，令h（x）=2e^x-e^xx³，则h'（x）=e^x（-x³-3x²+2）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），由此利用导数性质能证明f（x）-g（x）＞2．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵f（1）=e，∴（a-b）e=e，∴a-b=1…①
依题意，f'（1）=-2e，
又f'（x）=（-3x²-x³+2）e^x，∴a-4b=-2…②
联立①②解得a=2，b=1…（5分）
证明：（Ⅱ）要证f（x）-g（x）＞2，即证$2{e^x}-{e^x}{x^3}＞2+\frac{lnx}{x}$…（6分）
令h（x）=2e^x-e^xx³，∴h'（x）=e^x（-x³-3x²+2）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）
∴当x∈（0，1）时，-e^x＜0，x+1＞0，
令p（x）=x²+2x-2，∵p（x）的对称轴为x=-1，且p（0）•p（1）＜0
∴存在x₀∈（0，1），使得p（x₀）=0
∴当x∈（0，x₀）时，p（x）=x²+2x-2＜0，
∴h'（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＞0，即h（x）在（0，x₀）上单调递增
当x∈（x₀，1）时，p（x）=x²+2x-2＞0，∴h'（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＜0
即h（x）在（x₀，1）上单调递减
又∵h（0）=2，h（1）=e
故当x∈（0，1）时，h（x）＞h（0）=2…（10分）
又当x∈（0，1）时，$\frac{lnx}{x}＜0$，∴$2+\frac{lnx}{x}＜2$…（11分）
所以$2{e^x}-{e^x}{x^3}＞2+\frac{lnx}{x}$，即f（x）-g（x）＞2…（12分）

点评 本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查导数性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，考查函数与方程思想，是中档题．