Question

16．已知动点P到定直线l：x=-2的距离比到定点F（$\frac{1}{2}$，0）的距离大$\frac{3}{2}$
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点D（2，0）的直线交轨迹C于A，B两点，直线OA，OB分别交直线l于点M，N，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）求出M，N的坐标，可得以MN为直径的圆的方程，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），因为动点P到定直线l：x=-2的距离比到定点F（$\frac{1}{2}$，0）的距离大$\frac{3}{2}$，
所以x＞-2且$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=|x+2|-$\frac{3}{2}$，
化简得y²=2x，
∴轨迹C的方程为y²=2x．
（Ⅱ）设A（2t₁²，2t₁），B（2t₂²，2t₂）（t₁t₂≠0），则
∵A，D，B三点共线，
∴2t₂（2t₁²-2=2t₁（2t₂²-2）），
又t₁≠t₂，∴t₁t₂=-1，
直线OA的方程为y=$\frac{1}{{t}_{1}}$x，令x=-2，得M（-2，-$\frac{2}{{t}_{1}}$）．
同理可得N（-2，-$\frac{2}{{t}_{2}}$）．
所以以MN为直径的圆的方程为（x+2）（x+2）+（y+$\frac{2}{{t}_{1}}$）（y+$\frac{2}{{t}_{2}}$）=0，
将t₁t₂=-1代入上式，可得（x+2）²+y²-2（t₁+t₂）y-4=0，
令y=0，即x=0或x=-4，
故以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值4．

点评 本题考查轨迹方程，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．