Question

2．某商场搞促销，规定顾客购物达到一定金额可抽奖，最多有三次机会，每次抽中，可依次分别获得20元、30元、50元奖金，顾客每次抽中后，可以选择带走所得奖金，结束抽奖；也可以选择继续抽奖，若有任何一次没有抽中，则连同前面所得奖金也全部归零，结束抽奖，设顾客甲第一次、第二次、第三次抽中的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，选择继续抽奖的概率均为$\frac{1}{2}$，且每次是否抽中互不影响．
（Ⅰ）求顾客甲第一次抽中，但所得奖金为零的概率；
（Ⅱ）设该顾客所得奖金总数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）顾客甲第一次抽中，但所得奖金为零包含两种情况：①第一次抽中第二次没有抽中，②第一次第二次都抽中，第三次没有抽中，由此能求出顾客甲第一次抽中，但所得奖金为零的概率．
（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，20，50，100，分别求出相应的概率，由此能求出求随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）顾客甲第一次抽中，但所得奖金为零包含两种情况：
①第一次抽中第二次没有抽中，
②第一次第二次都抽中，第三次没有抽中，
∴顾客甲第一次抽中，但所得奖金为零的概率：
p=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{16}$．
（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，20，50，100，
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）+$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{7}{16}$，
P（X=20）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=50）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=100）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，
∴X的分布列为：

X	0	20	50	100
P	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

EX=$0×\frac{7}{16}+20×\frac{3}{8}+50×\frac{1}{8}+100×\frac{1}{16}$=20．

点评 本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解答本题的关键是正确理解离散型随机变量的分布列的性质，是中档题．