Question

8．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（　　）个．

• A． 53
• B． 59
• C． 66
• D． 71

Answer 1

分析 根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案．

解答 解：根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，
则分5种情况讨论：
①、四个数字为0、1、3、6时，
千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A₃³=6种情况，
此时有2×6=12个“完美四位数”，
②、四个数字为0、1、4、5时，
千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A₃³=6种情况，
此时有2×6=12个“完美四位数”，
③、四个数字为0、1、2、7时，
千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A₃³=6种情况，
千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，
此时有6+5=11个“完美四位数”，
④、四个数字为0、2、3、5时，
千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A₃³=6种情况，
此时有3×6=18个“完美四位数”，
⑤、四个数字为1、2、3、4时，
千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A₃³=6种情况，
此时有3×6=18个“完美四位数”，
则一共有12+12+11+18+18=71个“完美四位数”，
故选：D．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，分类讨论注意做到不重不漏．