Question

19．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n，${S_n}=a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+$…$+a_{2n-1}^2-a_{2n}^2$等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}（{2^n}-1）$
• B． $\frac{1}{5}（1-{2^{4n}}）$
• C． $\frac{1}{3}（{4^n}-1）$
• D． $\frac{1}{3}（1-{2^n}）$

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}为首项为1，公比为2的等比数列，S_n为首项为1，公比为-4的等比数列前2n项和，运用求和公式即可得到．

解答 解：在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n，
可得a_n=2^n-1，
${S_n}=a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+$…$+a_{2n-1}^2-a_{2n}^2$
=1-4+16-64+…+4^2n-2-4^2n-1
=$\frac{1-（-4）^{2n}}{1-（-4）}$=$\frac{1}{5}$（1-4²ⁿ）=$\frac{1}{5}$（1-2⁴ⁿ）．
故选：B．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．