Question

8．已知$|{\overrightarrow a}|=3，|{\overrightarrow b}|=4，\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，若向量$\overrightarrow c$满足$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）=0$，则$|{\overrightarrow c}|$的取值范围是[0，5]．

Answer 1

分析 先根据向量的数量积和向量的模，求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=5，再由$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）=0$，得到$\overrightarrow{c}$|²=5|$\overrightarrow{c}$|cos（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$），继而求出范围．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a}|=3，|{\overrightarrow b}|=4，\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=5，
∵$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）=0$，
∴|$\overrightarrow{c}$|²=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=|（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|cos（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$）=5|$\overrightarrow{c}$|cos（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$），
∴|$\overrightarrow{c}$|=0，或|$\overrightarrow{c}$|=5cos（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$）≤5，
故$|{\overrightarrow c}|$的取值范围[0，5]，
故答案为：[0，5]

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的模，考查了学生的运算能力，属于中档题．