Question

17．已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，若向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$$-\overrightarrow{c}$）=0，则|$\overrightarrow{c}$|的取值范围是[0，5]．

Answer 1

分析 根据条件可得到$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$，然后作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，从而得出点O，C都在以AB为直径的圆上，可求出圆的直径的长度，从而结合图形即可求出$|\overrightarrow{c}|$的取值范围．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=0$；
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$，如图所示，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，则：

O，C点都在以AB为直径的圆D上；
圆D的直径为5；
∴$|\overrightarrow{OC}|∈[0，5]$；
即$|\overrightarrow{c}|$的取值范围是[0，5]．
故答案为：[0，5]．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量的几何意义，直径所对的圆周角为直角，以及数形结合解题的方法．