Question

9．已知f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）若a≥2，求f（a²）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）最小值是2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a≥2，f（a²）=2（a-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，即可求f（a²）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）最小值是2，分类讨论，即可求实数a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵a≥2，∴a²＞a，
∵f（x）=|x-1|+|x-a|，∴f（a²）=2a²-a-1，即f（a²）=2（a-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$．
∴f（a²）_min=5．…（5分）
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=2|x-1|，f（x）_min=0，舍．…（6分）
当a＜1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+a+1，}&{x＜a}\\{1-a，}&{a≤x≤1}\\{2x-a-1，}&{x＞1}\end{array}\right.$，∴f（x）_min=1-a，…（7分）
由题意，1-a=2，∴a=-1．…（8分）
当a＞1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+a+1，}&{x＜1}\\{a-1，}&{1≤x≤a}\\{2x-a-1，}&{x＞a}\end{array}\right.$，∴f（x）_min=a-1，
∴a-1=2，∴a=3．…（9分）

点评 本题考查记不住不等式，考查分类讨论的数学思想，正确转化是关键．