Question

4．已知数列{a_n}的是等差数列，a₁≥-2，a₂≤1，a₃≥0，则a₄≥3的概率是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设出等差数列的公差，把a₂，a₃分别用首项和公差表示，然后利用线性规划知识由a₄的取值范围求得几何概型概率．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，则a₄=a₁+3d，
由已知得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}≥-2}\\{{a}_{1}+d≤1}\\{{a}_{1}+2d≥0}\end{array}\right.$
设a₁=x，d=y，则a₄=x+3y，
则不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{x+y≤1}\\{x+2y≥0}\end{array}\right.$，对应的可行域如图△ACD，
由a₄=x+3y≥3得到区域为△BCE，
由几何概型的公式得到使得a₄≥3的概率是：$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（3-\frac{5}{3}）×2}{\frac{1}{2}×（3-1）×4}=\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用线性规划求函数的最值，综合性较强，利用数形结合是解决本题的关键．