Question

3．在曲线C上的动点P（a，a²+2a）与动点Q（b，b²+2b）（a＜b＜0）的切线互相垂直，则b-a最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． -$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可得曲线y=x²+2x上存在两点处的切线互相垂直，求出函数y=x²+2x的导数，结合两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得b-a=$\frac{1}{-4（a+1）}$+（-a-1），（a+1＜0），运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：由题意可得曲线y=x²+2x上存在两点处的切线互相垂直，
由y=x²+2x的导数为y′=2x+2，
可得（2a+2）（2b+2）=-1，
由a+1＜b+1，可得a+1＜0，
且b=$\frac{1}{-4（a+1）}$，b-a=$\frac{1}{-4（a+1）}$+（-a-1）≥2$\sqrt{（-a-1）•\frac{1}{-4（a+1）}}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
当且仅当$\frac{1}{-4（a+1）}$=（-a-1），解得a=-$\frac{3}{2}$，可得b-a的最小值为1．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．