Question

15．观察以下三个不等式：
①（1²+2²+3²）（3²+4²+5²）≥（1×3+2×4+3×5）²；
②（7²+9²+10²）（6²+8²+11²）≥（7×6+9×8+10×11）²；
③（20²+30²+2017²）（99²+90²+2016²）≥（20×99+30×90+2017×2016）²；
若2x+y+z=-7，x，y，z∈R时，则（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²的最小值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，[（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²]（2²+1²+1²）≥（2x+2+y+2+z+1）²，2x+y+z=-7，即可得出结论．

解答 解：由题意，[（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²]（2²+1²+1²）≥（2x+2+y+2+z+1）²，2x+y+z=-7，
∴（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²≥$\frac{2}{3}$，
∴（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²的最小值为$\frac{2}{3}$，
故答案为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了归纳推理，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．