Question

15．已知函数f（x）=xcosx-（a+1）sinx，x∈[0，π]，其中$\frac{3π}{4}≤α≤\frac{{2\sqrt{3}π}}{3}$．
（1）证明：当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）≤0；
（2）判断f（x）的极值点个数，并说明理由；
（3）记f（x）最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=-xsinx-acosx，当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）＜0，由此能证明当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）≤f（0）=0成立．
（2）设p（x）=f′（x），则p′（x）=-xcosx+（a-1）sinx，由导数性质得p（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上单调递增，从而f′（x）在[0，π]上存在唯一零点β，由此推导出当x∈[0，π]时，f（x）有唯一极值点β，且β为极小值点．
（3）当x∈[0，π]时，h（a）=f（x）_min=f（β），f′（β）=-βsinβ-acosβ，α=-$\frac{βsinβ}{cosβ}$，从而h（a）=$\frac{β}{cosβ}-sinβ$，设q（x）=-$\frac{xsinx}{cosx}$，则${q}^{'}（x）=-\frac{sin2x+2x}{2co{s}^{2}x}$，由此利用构造法及导数性质能求出函数h（a）的值域．

解答 证明：（1）∵f（x）=xcosx-（a+1）sinx，x∈[0，π]，
∴f′（x）=-xsinx-acosx，
∵$\frac{3π}{4}≤α≤\frac{{2\sqrt{3}π}}{3}$，∴当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上是减函数，
∴当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）≤f（0）=0成立．
解：（2）f（x）有唯一极值点．
理由如下：
设p（x）=f′（x），则p′（x）=-xcosx+（a-1）sinx，
∵a≥$\frac{3π}{4}$＞1，∴当x∈（$\frac{π}{2}$．π）时，p′（x）＞0，
∴p（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上单调递增，
∵p（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上存在唯一零点β，
又由（1）知，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，p（x）＜0，
∴p（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上无零点，
∴f′（x）在[0，π]上存在唯一零点β，
∴当x∈（0，β）时，f′（x）＜0，当x∈（β，π）时，f′（x）＞0．
∴当x∈[0，π]时，f（x）有唯一极值点β，且β为极小值点．
（3）由（2）知，当x∈[0，π]时，h（a）=f（x）_min=f（β），
f′（β）=-βsinβ-acosβ，
∵β∈（$\frac{π}{2}，π$），∴cosβ＜0，∴α=-$\frac{βsinβ}{cosβ}$，
∴h（a）=f（β）=βcosβ-（a+1）sinβ=βcosβ+$\frac{βsi{n}^{2}β}{cosβ}-sinβ=\frac{β}{cosβ}-sinβ$，
设q（x）=-$\frac{xsinx}{cosx}$，则${q}^{'}（x）=-\frac{sin2x+2x}{2co{s}^{2}x}$，
当x∈（$\frac{π}{2}$，π）时，sin2x+2x＞-1+π＞0，∴q′（x）＜0，即q（x）在（$\frac{π}{2}，π$）单调递减，
又∵$\frac{3π}{4}≤a≤\frac{2\sqrt{3}π}{2}$时，$\frac{2π}{3}≤β≤\frac{3π}{4}$．
∴对于每一个α∈[$\frac{3π}{4}，\frac{2\sqrt{3}π}{3}$]，均存在唯一的β∈[$\frac{2π}{3}，\frac{3π}{4}$]与之相对应，
反之亦然，
设φ（x）=$\frac{x}{cosx}-sinx$，x∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
则φ′（x）=$\frac{cosx+xsinx}{co{s}^{2}x}$-cosx=$\frac{（1-co{s}^{2}x）+xsinx}{co{s}^{2}x}$=$\frac{（sin2x+2x）six}{2co{s}^{2}x}$＞0，
φ（x）在[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上单调递增，
∴当$\frac{3π}{4}≤α≤\frac{2\sqrt{3}π}{3}$时，f（β）_min=φ（$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{4π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（β）_maxφ（$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{3\sqrt{2}π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴函数h（a）的值域为[$-\frac{4π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}π}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查导数及其应用等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查转化化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．