Question

7．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（4，$\frac{π}{3}$），点B的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲线C的直角坐标方程为：x²+（y-1）²=1．
（Ⅰ）求曲线C和直线AB的极坐标方程；
（Ⅱ）过点O的射线l交曲线C于M点，交直线AB于N点，若|OM|•|ON|=4，求射线l所在直线的直角坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x²+y²=ρ²，y=ρsinθ，能求出曲线C的极坐标方程；把点A的极坐标和点B的极坐标都化为直角坐标，求出直线AB的直角坐标方程，由此能求出直线AB的极坐标方程．
（Ⅱ）设射线l：θ=α，代入曲线C，得：ρ_M=2sinα，代入直线AB，得：ρ_M=$\frac{2}{cosα}$，由|OM|•|ON|=4，得到tanα=1，由此能求出射线l所在直线的直角坐标方程．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的直角坐标方程为：x²+（y-1）²=1．
∴x²+y²-2y=0，
∵x²+y²=ρ²，y=ρsinθ，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²=2ρsinθ，即ρ=2sinθ．
∵点A的极坐标为（4，$\frac{π}{3}$），点B的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴点A的直角坐标为A（2，2$\sqrt{3}$），点B的直角坐标方程为B（2，2），
∴直线AB的直角坐标方程为x=2，
∴直线AB的极坐标方程为ρcosθ=2．
（Ⅱ）设射线l：θ=α，代入曲线C，得：ρ_M=2sinα，
代入直线AB，得：ρ_M=$\frac{2}{cosα}$，
∵|OM|•|ON|=4，∴$\frac{2}{cosα}•2sinα=4$，∴tanα=1，
∴射线l所在直线的直角坐标方程为y=x．

点评 本题考查直线、圆的极坐标方程的求法，考查射线的直角坐标方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．