Question

10．已知函数f（x）=xlnx+x（x-a）²（a∈R），若存在$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得f（x）＞xf'（x）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{9}{4}，+∞}）$
• B． $（{\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． $（{\sqrt{2}，+∞}）$
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 由f（x）＞xf'（x）成立，可得[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0，设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=lnx+（x-a）²，
则存在$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得g′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）＜0成立，a＞（x+$\frac{1}{2x}$）_min．

解答 解：由f（x）＞xf'（x）成立，可得[$\frac{f（x）}{x}$′＜0，设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=lnx+（x-a）²，
则存在$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得g′（x）＜0成立，即g′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）＜0成立，即a＞x+$\frac{1}{2x}$成立．
a＞（x+$\frac{1}{2x}$）_min．又x+$\frac{1}{2x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{2x}}$=$\sqrt{2}$，∴$a＞\sqrt{2}$．当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
故选：C

点评 本题考查了导数的应用，分离参数法求参数范围，属于中档题．