Question

19．已知五边形ABCDE是由直角梯形ABCD和等腰直角三角形ADE构成，如图所示，AB⊥AD，AE⊥DE，AB∥CD，且AB=2CD=2DE=4，将五边形ABCDE沿着AD折起，且使平面ABCD⊥平面ADE．
（Ⅰ）若M为DE中点，边BC上是否存在一点N，使得MN∥平面ABE？若存在，求$\frac{BN}{BC}$的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求四面体B-CDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点为N，AD中点为P，连接MN，NP，MP．推导出MP∥面ABE，NP∥面ABE，由此能求出边AB上存在一点N，使得MN∥平面ABE，且$\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）推导出EP⊥AD，由四面体B-CDE的体积V_B-CDE=V_E-BCD，能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）取BC中点为N，AD中点为P，连接MN，NP，MP．
∵MP∥AE，AE⊆面ABE，MP?面ABE，
∴MP∥面ABE，同理NP∥面ABE，
又MP∩NP=P，∴MN∥面ABE，
∴边AB上存在一点N，使得MN∥平面ABE，且$\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵△ADE为等腰直角三角形．
∴EP⊥AD，
又平面ABCD平面ADE，∴EP⊥平面ABCD，
∵$EP=\sqrt{2}$，${S_{△BCD}}=2\sqrt{2}$，
∴四面体B-CDE的体积V_B-CDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}×EP×{S_{△BCD}}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想，数形结合思想，是中档题．