Question

20．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，且b₁=a₁=1，b₃=a₄，b₁+b₂+b₃=a₃+a₄．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得d，q的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求得${c_n}={a_n}{b_n}=n•{2^{n-1}}$，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，
依b₁=a₁=1，b₃=a₄，b₁+b₂+b₃=a₃+a₄．
得$\left\{\begin{array}{l}1+3d={q^2}\\ 1+q+{q^2}=2+5d\end{array}\right.$
解得d=1，q=2，
所以a_n=1+（n-1）=n，${b_n}=1×{2^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（2）由（1）知${c_n}={a_n}{b_n}=n•{2^{n-1}}$，
则${T_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+$3•2²+…n•2^n-1①
2T_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
①-②得：$-{T_n}=1•{2^0}+1•{2^1}+1•{2^2}$+…+1•2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{{1•（{1-{2^n}}）}}{1-2}-n•{2^n}$=（1-n）•2ⁿ-1．
所以${T_n}=（{n-1}）•{2^n}+1$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．