Question

15．设函数f（x）=ae^x-xlnx，其中a∈R，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若$a≥\frac{2}{e^2}$，证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f'（x）=ae^x-（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函数等价于f'（x）≥0恒成立．令f'（x）≥0，得$a≥\frac{1+lnx}{e^x}$，令$g（x）=\frac{1+lnx}{e^x}$（x＞0），求导得$g'（x）={e^{-x}}（{\frac{1}{x}-1-lnx}）$，令$h（x）=\frac{1}{x}-1-lnx$，$h'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）f（x）＞0?$\frac{{a{e^x}}}{x}-lnx＞0$．令F（x）=$\frac{a{e}^{x}}{x}-lnx$（x＞0），当$a≥\frac{2}{e^2}$时，F（x）的最小值大于0．由此利用导数性质能证明当$a≥\frac{2}{e^2}$时，总有f（x）＞0．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=ae^x-（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函数等价于f'（x）≥0恒成立．
令f'（x）≥0，得$a≥\frac{1+lnx}{e^x}$，令$g（x）=\frac{1+lnx}{e^x}$（x＞0）．以下只需求g（x）的最大值．
求导得$g'（x）={e^{-x}}（{\frac{1}{x}-1-lnx}）$，
令$h（x）=\frac{1}{x}-1-lnx$，$h'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，h（x）是（0，+∞）上的减函数，
又h（1）=0，故1是h（x）的唯一零点，
当x∈（0，1），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）递增；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）递减；
故当x=1时，g（x）取得极大值且为最大值$g（1）=\frac{1}{e}$，
所以$a≥\frac{1}{e}$，即a的取值范围是$[{\frac{1}{e}，+∞}）$．
证明：（Ⅱ）f（x）＞0?$\frac{{a{e^x}}}{x}-lnx＞0$．
令F（x）=$\frac{a{e}^{x}}{x}-lnx$（x＞0），以下证明当$a≥\frac{2}{e^2}$时，F（x）的最小值大于0．
求导得$F'（x）=\frac{{a（{x-1}）{e^x}}}{x^2}-\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x^2}[{a（{x-1}）{e^x}-x}]$．
①当0＜x≤1时，F'（x）＜0，F（x）≥F（1）=ae＞0；
②当x＞1时，$F'（x）=\frac{{a（{x-1}）}}{x^2}$$[{{e^x}-\frac{x}{{a（{x-1}）}}}]$，令$G（x）={e^x}-\frac{x}{{a（{x-1}）}}$，
则G'（x）=e^x$+\frac{1}{{a{{（{x-1}）}^2}}}＞0$，又$G（2）={e^2}-\frac{2}{a}$=$\frac{{a{e^2}-2}}{a}≥0$，
取m∈（1，2）且使$\frac{m}{{a（{m-1}）}}＞{e^2}$，即$1＜m＜\frac{{a{e^2}}}{{a{e^2}-1}}$，则$G（m）={e^m}-\frac{m}{{a（{m-1}）}}$＜e²-e²=0，
因为G（m）G（2）＜0，故G（x）存在唯一零点x₀∈（1，2），
即F（x）有唯一的极值点且为极小值点x₀∈（1，2），又$F（{x_0}）=\frac{{a{e^{x_0}}}}{x_0}-ln{x_0}$，
且$G（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{x_0}{{a（{{x_0}-1}）}}=0$，即${e^{x_0}}=\frac{x_0}{{a（{{x_0}-1}）}}$，故$F（{x_0}）=\frac{1}{{{x_0}-1}}-ln{x_0}$，
因为$F'（{x_0}）=-\frac{1}{{{{（{{x_0}-1}）}^2}}}-\frac{1}{x_0}＜0$，故F（x₀）是（1，2）上的减函数．
所以F（x₀）＞F（2）=1-ln2＞0，所以F（x）＞0．
综上，当$a≥\frac{2}{e^2}$时，总有f（x）＞0．

点评 本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．