Question

4．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），若b_n+1=（n-2λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）（n∈N^*），b₁=-λ且数列{b_n}是递增数列，则实数λ的取值范围是λ＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据数列的递推公式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比数列，首项为$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比为2，再代值得到b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ，根据数列的单调性即可求出λ的范围．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，化为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{a}_{n}}$+2
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比数列，首项为$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比为2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b_n+1=（n-2λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-2λ）•2ⁿ，
∵b₁=-$\frac{3}{2}$λ，且数列{b_n}是单调递增数列，
∴b₂＞b₁，
∴（1-2λ）•2＞-λ，
解得λ＜$\frac{2}{3}$，
故答案为：λ＜$\frac{2}{3}$

点评 本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．