Question

13．若函数f（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为（-5，-2）．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，2）上恒大于等于0或恒小于等于0求出k的取值范围，再取补集得答案．

解答 解：f′（x）=3x²+2（k-1）x+k+5，
若函数f（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1在区间（0，2）上单调，
则4（k-1）²-12（k+5）≤0 ①
或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-k}{3}≤0}\\{f′（0）=k+5≥0}\end{array}\right.$ ②
或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-k}{3}≥2}\\{f′（2）=12+4（k-1）+k+5≥0}\end{array}\right.$ ③
或$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=k+5≤0}\\{f′（2）=12+4（k-1）+k+5≤0}\end{array}\right.$ ④．
解①得-2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈∅；解④得k≤-5．
综上，满足函数f（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1在区间（0，2）上单调的k的范围为k≤-5或k≥-2．
于是满足条件的实数k的范围为（-5，-2）．
故答案为：（-5，-2）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．