Question

3．已知f（x）是奇函数，且对于任意x∈R满足f（2-x）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（-2，4]上的零点个数是（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 由函数f（x）是奇函数且满足f（2-x）=f（x）知，f（x）是周期为4的周期函数，且关于直线x=1+2k（k∈R）成轴对称，关于点（2k，0）（k∈Z）成中心对称，再求出函数的零点，即可得出结论．

解答 解：由函数f（x）是奇函数且满足f（2-x）=f（x）知，f（x）是周期为4的周期函数，
且关于直线x=1+2k（k∈R）成轴对称，关于点（2k，0）（k∈Z）成中心对称．
当0＜x≤1时，令f（x）=lnx+2=0，得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，由此得y=f（x）在（-2，4]上的零点分别为-2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，-$\frac{1}{{e}^{2}}$，0，$\frac{1}{{e}^{2}}$，2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，2，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，-$\frac{1}{{e}^{2}}$+4，4共9个零点．
故选C．

点评 本题考查函数的奇偶性、对称性，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．