Question

5．已知$f（x）=x{e^{ax}}-\frac{a}{2}{x^2}$-x+1，a≠0
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若?x₀＞1，使$f（{x_0}）＜\frac{a}{2}$成立，求参数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入a值，求出导函数，找出极值点，得出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）由题意即$f{（x）_{min}}＜\frac{a}{2}$，当a＞0时，f（x）_min=f（1），当a＜0，$f（1）＞\frac{a}{2}$恒成立，由此利用导数性质能求出参数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=x{e^x}-\frac{x^2}{2}-x+1$，
f'（x）=e^x+xe^x-x-1=（e^x-1）（x+1）=0时x₁=0，x₂=-1

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	增		减		增

∴f（x）的减区间为（-1，0）f（x）的增区间为（-∞，-1），（0，+∞）
（Ⅱ）由题意即$f{（x）_{min}}＜\frac{a}{2}$，
x＞1时，f'（x）=（ax+1）（e^ax-1）=0，
∴${x_1}=-\frac{1}{a}$，x₂=0
当a＞0时，
∵x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）单调递增，
即f（x）_min=f（1），f（1）=e^a-$\frac{a}{2}$＜$\frac{a}{2}$即e^a-a＜0，
设g（a）=e^a-a，
a≥0时，g'（x）=e^a-1≥0，
∴g（x）_min=g（1）=1＞0即e^a＞a恒成立，∴无解
当a＜0时：

x	（-∞，0）	0	$（{0，-\frac{1}{a}}）$	$-\frac{1}{a}$	$（{-\frac{1}{a}，+∞}）$
g'（x）	+		-		+
g（x）	↑		↓		↑

且g（0）=1＞0，由（1）知$f（1）＞\frac{a}{2}$恒成立，
若?x₀＞1使$f（{x_0}）＜\frac{a}{2}$则$-\frac{1}{a}＞!$且$f（{-\frac{1}{a}}）＜\frac{a}{2}$$-\frac{1}{a}＞1⇒$-1＜a＜0①，
$f（{-\frac{1}{a}}）=-\frac{1}{ae}$$+\frac{1}{2a}+1＜\frac{a}{2}$${（{a-1}）^2}＜2-\frac{2}{e}$$1-\sqrt{2-\frac{2}{e}}＜a$$＜1+\sqrt{2-\frac{2}{e}}$②，
由①②取交集，得参数a的取值范围：{a|$1-\sqrt{2-\frac{2}{e}}＜a＜0$}．

点评 本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．