Question

16．某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3：2：1：1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2：1：3：1，选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类．
（Ⅰ）随机抽取一名同学，求该同学选课成功（未被调剂）的概率；
（Ⅱ）某小组有五名同学，有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1，记最终确定到田径类的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）随机抽取一名同学，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出该同学选课成功（未被调剂）的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为1，2，3，4．分别出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）随机抽取一名同学，该同学选课成功（未被调剂）的概率：
$P=\frac{3}{7}×\frac{2}{3}+\frac{2}{7}×\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{5}{7}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值为1，2，3，4．
$P（X=1）=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{4}{18}$，
$P（X=2）=2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{8}{18}$，
$P（X=3）=2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{5}{18}$，
$P（X=4）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{18}$．
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{18}$	$\frac{8}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{18}$

$EX=1×\frac{4}{18}+2×\frac{8}{18}+3×\frac{5}{18}+4×\frac{1}{18}=\frac{13}{6}$．

点评 本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是中档题．