Question

2．定义“函数y=f（x）是D上的a级类周期函数”如下：函数y=f（x），x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的周期．若y=f（x）是[1，+∞）上的a级类周期函数，且T=1，当x∈[1，2）时，f（x）=2^x（2x+1），且y=f（x）是[1，+∞）上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $[{\frac{5}{6}，+∞}）$
• B． [2，+∞）
• C． $[{\frac{10}{3}，+∞}）$
• D． [10，+∞）

Answer 1

分析 分类讨论f得出f（x）在[1，+∞）上单调递增，
得出aⁿ•2^n-n（2n-2n+3）≥a^n-1•2^n-（n-1）（2n-2n+5），
解得a的取值范围．

解答 解：∵x∈[1，2）时，f（x）=2^x（2x+1），
∴当x∈[2，3）时，f（x）=af（x-1）=a•2^x-1（2x-1）；
当x∈[n，n+1）时，f（x）=a^n-1f[x-（n-1）]=a^n-1•2^x-n+1（2x-2n+3）；
即x∈[n，n+1）时，f（x）=a^n-1•2^x-n+1（2x-2n+3），n∈N^*，
∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴a＞0且aⁿ•2^n-n（2n-2n+3）≥a^n-1•2^n-（n-1）（2n-2n+5），
解得a≥$\frac{10}{3}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{10}{3}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题综合考查了函数的性质与分类讨论思想的应用问题，是难题．