Question

12．已知曲线$f（x）=\frac{{{{ln}^2}x+alnx+a}}{x}$在点（e，f（e））处的切线与直线2x+e²y=0平行，a∈R．
（1）求a的值；
（2）求证：$\frac{f（x）}{x}＞\frac{a}{e^x}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值；
（2）求出f（x）的导数和单调区间，可得极值点，讨论①当x∈（0，1）时，②当x∈[1，+∞）时，求出最值，构造令$g（x）=\frac{{3{x^2}}}{e^x}$，求出导数，判断单调性，结合不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{{{ln}^2}x+alnx+a}}{x}$的导数为
$f'（x）=\frac{{-{{ln}^2}x+（2-a）lnx}}{x^2}$，
由切线与直线2x+e²y=0平行，
可得切线的斜率k=$f'（e）=\frac{-1+2-a}{e^2}=-\frac{2}{e^2}⇒a=3$；
（2）证明：$f（x）=\frac{{{{ln}^2}x+3lnx+3}}{x}$，导数$f'（x）=\frac{-lnx（lnx+1）}{x^2}$，
$f'（x）＞0⇒\frac{1}{e}＜x＜1$，f′（x）＜0可得0＜x＜$\frac{1}{e}$或x＞1．
故f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$和（1，+∞）上递减，在$（\frac{1}{e}，1）$上递增，
①当x∈（0，1）时，$f（x）≥f（\frac{1}{e}）=e$，
而$（\frac{3x}{e^x}）'=\frac{3（1-x）}{e^x}$，故$\frac{3x}{e^x}$在（0，1）上递增，
∴$\frac{3x}{e^x}＜\frac{3}{e}＜e$，∴$f（x）＞\frac{3x}{e^x}$即$\frac{f（x）}{x}＞\frac{3}{e^x}$；
②当x∈[1，+∞）时，ln²x+3lnx+3≥0+0+3=3，
令$g（x）=\frac{{3{x^2}}}{e^x}$，则$g'（x）=\frac{{3（2x-{x^2}）}}{e^x}$故g（x）
在[1，2）上递增，（2，+∞）上递减，
∴$g（x）≤g（2）=\frac{12}{e^2}＜3$，
∴${ln^2}x+3lnx+3＞\frac{{3{x^2}}}{e^x}$即$\frac{f（x）}{x}＞\frac{3}{e^x}$；
综上，对任意x＞0，均有$\frac{f（x）}{x}＞\frac{3}{e^x}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查转化思想和构造函数法，以及分类讨论的思想方法，考查运算求解能力，属于中档题．