Question

16．如图所示，在正方体AC₁中，AB=2，A₁C₁∩B₁D₁=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC₁B₁所成的角为β，则cos（α-β）=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 由AC∥A₁E，知α=∠A₁ED，过E作EF⊥平面ADD₁A₁，交A₁D₁于F，则β=∠EDF，由此能求出cos（α-β）的值．

解答 解：∵在正方体AC₁中，AB=2，A₁C₁∩B₁D₁=E，
AC∥A₁E，直线AC与直线DE所成的角为α，
∴α=∠A₁ED，且A₁E=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$，A₁D=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
∴cosα=$\frac{{A}_{1}{E}^{2}+D{E}^{2}-{A}_{1}{D}^{2}}{2×{A}_{1}E×DE}$=$\frac{2+6-8}{2×\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=0，sinα=1，
过E作EF⊥平面ADD₁A₁，交A₁D₁于F，则F是A₁D₁的中点，
∵平面ADD₁A₁∥平面BCC₁B₁，直线DE与平面BCC₁B₁所成的角为β，
∴β=∠EDF，且EF=1，DF=$\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
sinβ=$\frac{EF}{DE}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，cosβ=$\frac{DF}{DE}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=0×$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$+1×$\frac{\sqrt{6}}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查两角差的余弦值的求法，考查余弦定理、勾股定理的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．