Question

1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线C₁：p=1．
（1）若直线l与曲线C₁相交于点A，B，点M（1，1），证明：|MA|•|MB|为定值；
（2）将曲线C₁上的任意点（x，y）作伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}x'=\sqrt{3x}\\ y'=y\end{array}\right.$后，得到曲线C₂上的点（x'，y'），求曲线C₂的内接矩形ABCD周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出曲线C₁：x²+y²=1．直线l的参数方程代入，得t²+2t（cosα+sinα）+1=0，由此能证明|MA|•|MB|为定值．
（2）将曲线C₁上的任意点（x，y）伸缩变换后得C₂：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．由此能求出曲线C₂的内接矩形ABCD周长的最大值．

解答 证明：（1）∵曲线C₁：p=1，∴曲线C₁：x²+y²=1．
联立$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得t²+2t（cosα+sinα）+1=0，
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=1．
解：（2）将曲线C₁上的任意点（x，y）作伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}x'=\sqrt{3x}\\ y'=y\end{array}\right.$，
伸缩变换后得C₂：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
其参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$．
不妨设点A（m，n）在第一象限，
由对称性知：周长为$4（{m+n}）=4（{\sqrt{3}cosθ+sinθ}）$=$8sin（{θ+\frac{π}{3}}）≤8$，（$θ=\frac{π}{6}$时取等号），
∴曲线C₂的内接矩形ABCD周长的最大值为8．

点评 本题考查两线段乘积为定值的证明，考查曲线内接矩形周长的最大值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．