Question

12．边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）若三棱锥A-BDE的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求AE长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面ADE，由此能证明平面ABCD⊥平面ADE．
（Ⅱ）推导出BA⊥平面ADE，AE⊥DE，由此利用V_B-ADE=V_A-BDE，能求出AE的长．

解答 证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥平面ADE，
又CD?面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．
解：（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ADE，且BA⊥DA，
∴BA⊥平面ADE，
∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥DE，
设AE=x，DA=2，得DE=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴V_B-ADE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}x\sqrt{4-{x}^{2}}$×2=$\frac{1}{3}x\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∵V_B-ADE=V_A-BDE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$x\sqrt{4-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
解得x=1或x=$\sqrt{3}$．
∴AE=1或AE=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．