Question

13．过抛物线y²=4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则|BF|等于（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由题意可知：|AC|=2|AF|，则∠ACD=$\frac{π}{6}$，利用三角形相似关系可知丨AF丨=丨AD丨=$\frac{4}{3}$，直线AB的切斜角$\frac{π}{3}$，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．

解答 解：抛物线y²=4x焦点F（1，0），准线方程l：x=-1，准线l与x轴交于H点，
过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，
|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，
则∠ACD=$\frac{π}{6}$，由丨HF丨=p=2，
∴$\frac{丨HF丨}{丨AD丨}$=$\frac{丨CF丨}{丨AC丨}$=$\frac{3}{2}$，
则丨AF丨=丨AD丨=$\frac{4}{3}$，
设直线AB的方程y=$\sqrt{3}$（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=\sqrt{3}（x-1）}\end{array}\right.$，整理得：3x2-10x+1=0，
则x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，
由抛物线的性质可知：丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{16}{3}$，
∴丨AF丨+丨BF丨=$\frac{16}{3}$，解得：丨BF丨=4，
故选C．

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．