Question

18．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x＞0\\-1，x＜0\end{array}\right.$，设$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$，则g（x）是（　　）

• A． 奇函数，在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增
• B． 奇函数，在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递减
• C． 偶函数，在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增
• D． 偶函数，在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递减

Answer 1

分析 根据题意，写出函数g（x）的解析式，设x＞0，则-x＜0，分析可得g（-x）=-g（x），可得g（x）为奇函数；由x＞0时g（x）的解析式，对其求导可得g′（x）=-2•$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{-2}{{x}^{3}}$＜0，可得函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，结合单调性可得其在（-∞，0）上也递减，综合可得答案．

解答 解：根据题意，$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}^{2}}，x＞0}\\{-\frac{1}{{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，
设x＞0，则-x＜0，g（-x）=-$\frac{1}{（-x）^{2}}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-g（x），故g（x）为奇函数；
当x＞0时，g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$=x^-2，
g′（x）=-2•$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{-2}{{x}^{3}}$＜0，
即g（x）在区间（0，+∞）上递减，
又由函数g（x）为奇函数，则在（-∞，0）上也递减，
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性单调性的判定，涉及分段函数的应用，关键是写出g（x）的解析式．