Question

7．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，$\sqrt{2}$），E的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（Ⅰ）求E的标准方程；
（Ⅱ）F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆E的左、右焦点，直线AB过F₁交E于点A、B，直线CD过F₂交E于点C、D，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，求四边形ABCD面积S取得的最大值时直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，将（0，$\sqrt{2}$）代入椭圆方程可得b的值，进而由离心率公式可得$\frac{{a}^{2}-2}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，解可得a的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，先设A、B的坐标以及直线AB的方程，联立直线与椭圆的方程可得（3+k^2）y^2-4ky-2=0，由根与系数的关系分析可以将|AB|、d用k表示出来，则可得S=d•|AB|=$\frac{8\sqrt{6•\sqrt{1+{k}^{2}}}}{3+{k}^{2}}$，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，$\sqrt{2}$），
即有$\frac{0}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
∴b²=2．
∵e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即$\frac{{a}^{2}-2}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
解得，a²=6．
所以，E的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）知c=2，设直线AB的方程为x=ky-2．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=ky-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$得，（3+k^2）y^2-4ky-2=0．
∴y₁+y₂=$\frac{4k}{3+{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{k}^{2}}$；
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{3+{k}^{2}}$．
直线AB方程可变形为x-ky+2=0，∴点F₂（2，0）到直线AB的距离d=$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=d•|AB|=$\frac{8\sqrt{6•\sqrt{1+{k}^{2}}}}{3+{k}^{2}}$，即S=$\frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{1+{k}^{2}}+\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}}$．
由题意，当且仅当$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即k²=1时，S最大，
所以直线AB的方程为x+y+2=0或x-y+2=0．

点评 本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的几何性质；关键是正确求出椭圆的标准方程．