Question

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$=$\frac{b}{sinB}$．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{6}$，且△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，求BC边上的中线AM的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanA，结合范围A∈（0，π），可得A的值．
（Ⅱ）由题意设AC=BC=2a，利用三角形面积公式可求a的值，在△ACM中，由余弦定理即可求得AM的值．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，又由已知$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{b}{sinB}$，
所以$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{a}{sinA}$，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因为A∈（0，π），所以A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由已知B=$\frac{π}{6}$，则△ABC是等腰三角形，∠C=$\frac{2π}{3}$，设AC=BC=2a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC•sin∠ACB$=$\frac{1}{2}•（2a）^{2}sin\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$a²，
由已知△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，得a²=4，a=2，
△ACM中，由余弦定理，AM²=CA²+CM²-2CA•CM•cos$\frac{2π}{3}$
=4²+2²-2×2×4×（-$\frac{1}{2}$）=28，
所以AM=2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．