Question

3．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC⊥平面BCC₁B₁，AC=BC=1，BB₁=2，∠B₁BC=60°．
（1）证明：B₁C⊥AB；
（2）已知点E在棱BB₁上，二面角A-EC₁-C为45°，求$\frac{BE}{{B{B_1}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）证明B₁C⊥BC．AC⊥B₁C，推出B₁C⊥平面ABC，即可证明B₁C⊥AB．
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz，求出相关点的坐标，求出平面AEC₁的一个法向量，平面EC₁C的一个法向量利用二面角的平面角转化求解即可．

解答 解：（1）证明：在△BCB₁中，BC=1，BB₁=2，∠B₁BC=60°，
则${B_1}C=\sqrt{{1^2}+{2^2}-2×1×2•cos{{60}°}}=\sqrt{3}$，
于是$B{C^2}+{B_1}{C^2}=BB_1^2$，故B₁C⊥BC．
所以AC⊥平面BCC₁B₁，于是AC⊥B₁C，又BC∩AC=C，
故B₁C⊥平面ABC，所以B₁C⊥AB．

（2）如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz，则$C（{0，0，0}），{B_1}（{\sqrt{3}，0，0}），B（{0，1，0}），A（{0，0，1}）$，
由$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{C{C_1}}$，得${C_1}（{\sqrt{3}，-1，0}）$，设$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{B{B_1}}（{0≤λ≤1}）$，
则$E（{\sqrt{3}λ，1-λ，0}）$，于是$\overrightarrow{AE}=（{\sqrt{3}λ，1-λ，-1}），\overrightarrow{A{C_1}}=（{\sqrt{3}，-1，-1}）$，
求得平面AEC₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（{λ-2，\sqrt{3}λ-\sqrt{3}，-\sqrt{3}}）$，
取平面EC₁C的一个法向量为$\overrightarrow m=（{0，0，1}）$，又二面角A-EC₁-C为45°，
则$cos{45°}=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{{（{λ-2}）}^2}+3{{（{λ-1}）}^2}+3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{4{λ^2}-10λ+10}}}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或λ=2（舍），
所以$\frac{BE}{{B{B_1}}}$的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．