Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$sin（A-B）=2{sin^2}（\frac{C}{2}-\frac{π}{4}）$．
（1）求sinAcosB的值；
（2）若$\frac{a}{b}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求B．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得$sinAcosB=\frac{1}{2}$；
（2）由已知利用正弦定理及（Ⅰ）可得$sin2B=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，进而可求B的值．

解答 解：（1）$sin（A-B）=1-cos（C-\frac{π}{2}）=1-sinC=1-sin（A+B）⇒2sinAcosB=1$，
∴$sinAcosB=\frac{1}{2}$；
（2）$\frac{sinA}{sinB}=\frac{a}{b}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，由（1）知$sinAcosB=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinBcosB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin2B=\frac{1}{2}$，
∴$sin2B=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$2B=\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∴$B=\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．