Question

20．已知函数$f（x）=3lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，g（x）=3x+a．
（Ⅰ）若f（x）与g（x）相切，求a的值；
（Ⅱ）当$a=\frac{5}{2}$时，P（x₁，y₁）为f（x）上一点，Q（x₂，y₂）为g（x）上一点，求|PQ|的最小值；
（Ⅲ）?x₀＞0，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求参数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设切点为（x₀，f（x₀）），利用导数的几何意义求出切点为$（{1，\frac{1}{2}}）$，代入g（x）=3x+a，能求出结果．
（2）$f'（x）=\frac{3}{x}-x+1$=$\frac{{-{x^2}+x+3}}{x}$，设-x²+x+3=0的两根x₁＜0＜x₂，|PQ|的最小值为切线与g（x）的距离，由此能求出结果．
（3）由题意得$3lnx-\frac{1}{2}{x^2}-2x＞a$．设$h（x）=3lnx-\frac{1}{2}{x^2}-2x$，则问题转化为a＜h（x）_max即可，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵$f（x）=3lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，∴$f'（x）=\frac{3}{x}-x+1$，
设切点为（x₀，f（x₀）），
则k=f'（x₀）=$\frac{3}{x_0}-{x_0}+1=3$，解得x₀=1或x₀=-3（舍）
∴切点为$（{1，\frac{1}{2}}）$，代入g（x）=3x+a，得$a=-\frac{5}{2}$．
（2）$f'（x）=\frac{3}{x}-x+1$=$\frac{{-{x^2}+x+3}}{x}$，设-x²+x+3=0的两根x₁＜0＜x₂，
列表讨论：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
y'	+	0	-
y	增	极大值	减

由（1）知$y=3x-\frac{5}{2}$与f（x）在x=1处相切且x₂＞1
∴当$a=\frac{5}{2}$时，$g（x）=3x+\frac{5}{2}$与f（x）无交点，|PQ|的最小值为切线与g（x）的距离，
即|PQ|_min=d=$\frac{{|{\frac{5}{2}+\frac{5}{2}}|}}{{\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
（3）由题意得$3lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$＞3x+a
即$3lnx-\frac{1}{2}{x^2}-2x＞a$．
设$h（x）=3lnx-\frac{1}{2}{x^2}-2x$，则问题转化为a＜h（x）_max即可
${h}^{'}（x）=\frac{3}{x}-x-2$，x＞0，
由h′（x）=0，得x=1，或x=-3（舍），
由h′（x）＞0，得0＜x＜1，由h′（x）＜0，得x＞1，
∴$h{（x）_{max}}=h（1）=-\frac{5}{2}$，
∴$a＜-\frac{5}{2}$，即参数a的取值范围是（-∞，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．