Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知$b=4\sqrt{5}，c=5$，且B=2C，点D为边BC上的一点，且CD=3，则△ADC的面积为6．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，进而利用三角形面积公式可求S_△ADC的值．

解答 解：∵由已知及正弦定理可得：$\frac{5}{sinC}=\frac{4\sqrt{5}}{sinB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{2sinCcosC}$，
∴cosC=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$•CD•b•sinC=$\frac{1}{2}×3×$4$\sqrt{5}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．