Question

1．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）试估计平均收益率；
（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份）与x（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：

x（元）	25	30	38	45	52
销售y（万册）	7.5	7.1	6.0	5.6	4.8

据此计算出的回归方程为$\hat y=10.0-bx$．
（i）求参数b的估计值；
（ii）若把回归方程$\hat y=10.0-bx$当作y与x的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出区间中值，取值概率，即可估计平均收益率；
（Ⅱ）（i）利用公式，求参数b的估计值；
（ii）设每份保单的保费为20+x元，则销量为y=10-0.1x，则保费收入为f（x）=（20+x）（10-0.1x）万元，f（x）=200+8x-0.1x²=360-0.1（x-40）²，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，
取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
平均收益率为0.05×0.10+0.15×0.20+0.25×0.25+0.35×0.30+0.45×0.10+0.55×0.05
=$\frac{1}{{{{10}^4}}}（{50+300+625+}\right.$1050+450+275）=0.275．
（Ⅱ）（i）$\overline x=\frac{25+30+38+45+52}{5}$=$\frac{190}{5}=38$，$\overline y=\frac{7.5+7.1+6.0+5.6+4.8}{5}$=$\frac{31}{5}=6.2$
所以$b=\frac{10.0-6.2}{38}=0.10$
（ii）设每份保单的保费为20+x元，则销量为y=10-0.1x，
则保费收入为f（x）=（20+x）（10-0.1x）万元，f（x）=200+8x-0.1x²=360-0.1（x-40）²
当x=40元时，保费收入最大为360万元，
保险公司预计获利为360×0.275=99万元．

点评 本题考查回归方程，考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．