Question

12．已知△ABC中，AC=2，A=120°，cosB=$\sqrt{3}$sinC．
（1）求边AB的长；
（2）设D是BC边上的一点，且△ACD的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求∠ADC的正弦值．

Answer 1

分析 （1）A=120°，cosB=$\sqrt{3}$sinC，求出tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得出∴△ABC是以A为顶角的等腰三角形可得边AB的长；
（2）△ACD的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求出CD，根据勾股定理可求得AD，在△ADC中利用正弦定理，求∠ADC的正弦值．

解答 （1）在△ABC中，A=120°，
∴cosB=cos（π-A-C）=cos（60°-C）=$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC①
∵cosB=$\sqrt{3}$sinC②．
联立①②可得$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=$\sqrt{3}$sinC
解得tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵在在△ABC中，A=120°
∴C＜60°
∴C=30°
∴B=30°．
∴△ABC是以A为顶角的等腰三角形．
∴AB=2．
（2）如图，AE是等腰三角形ABC的高和中线，也是△ACD的高．
∵B=30°
∴在Rt△ABE中，AE=sin30°AB=1，BE=cos30•AB=$\sqrt{3}$
∴CE=$\sqrt{3}$
∵S_△ACD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
即$\frac{1}{2}$×CD×AE=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∴CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∴DE=CD-CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴在Rt△ADE中，AD=$\frac{1}{\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{（1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
∵△ADC中，根据正弦定理可得：$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{AD}{sin∠C}$
∴sin∠ADC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$

点评 本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．