Question

17．已知f（x）=e^x-ax²，g（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）g（x）=f'（x）=e^x-2ax，g'（x）=e^x-2a，分a≤0，a＞0讨论．
（Ⅱ）令h（x）=e^x-ax²-x-1，则h'（x）=e^x-1-2ax，
由e^x≥1+x恒成立，故h'（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
分$a≤\frac{1}{2}$，$a＞\frac{1}{2}$讨论，求出a的取值范围

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax²，g（x）=f'（x）=e^x-2ax，g'（x）=e^x-2a，
当a≤0时，g'（x）＞0恒成立，g（x）无极值；
当a＞0时，g'（x）=0，即x=ln（2a），
由g'（x）＞0，得x＞ln（2a）；由g'（x）＜0，得x＜ln（2a），
所以当x=ln（2a）时，有极小值2a-2aln（2a）．
（Ⅱ）令h（x）=e^x-ax²-x-1，则h'（x）=e^x-1-2ax，注意到h（0）=h'（0）=0，
令k（x）=e^x-1-x，则k'（x）=e^x-1，且k'（x）＞0，得x＞0；k'（x）＜0，得x＜0，
∴k（x）≥k（0）=0，即e^x≥1+x恒成立，故h'（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
当$a≤\frac{1}{2}$时，1-2a≥0，h'（x）≥0，
于是当x≥0时，h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥x+1成立．
当$a＞\frac{1}{2}$时，由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．
h'（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故当x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，
于是当x∈（0，ln（2a））时，h（x）＜h（0）=0，f（x）≥x+1不成立．
综上，a的取值范围为$（-∞，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了导数的综合应用，分类讨论思想、转化思想，属于难题．