Question

16．已知f（x）是R上可导的增函数，g（x）是R上可导的奇函数，对?x₁，x₂∈R都有|g（x₁）+g（x₂）|≥|f（x₁）+f（x₂）|成立，等差数列{a_n}的前n项和为S_n，f（x）同时满足下列两件条件：f（a₂-1）=1，f（a₉-1）=-1，则S₁₀的值为10．

Answer 1

分析 根据题意，令x₁=-x₂有|g（x₁）+g（-x₁）|≥|f（x₁）+f（-x₁）|，结合g（x）的奇偶性可得|f（x₁）+f（-x₁）|≤0，分析可得f（x）为奇函数；又由f（a₂-1）=1，f（a₉-1）=-1，分析可得则有a₂+a₉=2，由等差数列前n项和公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，对?x₁，x₂∈R都有|g（x₁）+g（x₂）|≥|f（x₁）+f（x₂）|成立，
令x₁=-x₂有：|g（x₁）+g（-x₁）|≥|f（x₁）+f（-x₁）|，
又由g（x）是R上可导的奇函数，
则有|f（x₁）+f（-x₁）|≤0，
即f（x₁）+f（-x₁）=0，
故函数f（x）为奇函数；
若f（a₂-1）=1，f（a₉-1）=-1，
则有（a₂-1）+（a₉-1）=0，
即a₂+a₉=2，
S₁₀=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{10}）×10}{2}$=$\frac{（{a}_{2}+{a}_{9}）×10}{2}$=10；
故答案为：10．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，涉及等差数列的性质，关键是分析函数f（x）的奇偶性．