Question

16．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cost\\ y=2sint\end{array}\right.（t$为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2sinθ，曲线C₃：θ=$\frac{π}{6}$（ρ＞0），A（2，0）．
（1）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（2）设C₃分别交C₁，C₂于点P，Q，求△APQ的面积．

Answer 1

分析 （1）先把曲线C₁的参数方程化为普通方程，由此能求出C₁的极坐标方程．
（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为（ρ₁，$\frac{π}{6}$），（ρ₂，$\frac{π}{6}$），将$θ=\frac{π}{6}$代入ρ=4cosθ，得ρ₁=2$\sqrt{3}$，将$θ=\frac{π}{6}$代入ρ=2sinθ，得ρ₂=1，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cost\\ y=2sint\end{array}\right.（t$为参数），
∴C₁的普通方程为（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
∴C₁的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为（ρ₁，$\frac{π}{6}$），（ρ₂，$\frac{π}{6}$），
将$θ=\frac{π}{6}$代入ρ=4cosθ，得ρ₁=2$\sqrt{3}$，
将$θ=\frac{π}{6}$代入ρ=2sinθ，得ρ₂=1，
∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2$\sqrt{3}$-1，
依题意，点A（2，0）到曲线$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）的距离d=|OA|sin$\frac{π}{6}$=1，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}-1$）×1=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．